12015年湖北理科数学选择题：
（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．
为虚数单位，
的共轭复数为
A．
B．
C．1 D．
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
3．已知
的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
A．
B．
C．
D．
4．设
，
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
A．
B．
C．对任意正数
，
D．对任意正数
，
5．设
，
. 若p：
成等比数列；
q：
，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
6．已知符号函数
是
上的增函数，
，则
A．
B．
C．
D．
7．在区间
上随机取两个数
，记
为事件“
”的概率，
为事件“
”的概率，
为事件“
”的概率，则
A．
B．
C．
D．
8．将离心率为
的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增加
个单位
长度，得到离心率为
的双曲线
，则
A．对任意的
，
B．当
时，
；当
时，
C．对任意的
，
D．当
时，
；当
时，
9．已知集合
，
，定义集合
，则
中元素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30
10．设
，
表示不超过
的最大整数. 若存在实数
，使得
，
，…，
同时成立，则正整数
的最大值是
A．3 B．4 C．5 D．6
22015年湖北理科数学填空题
（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）
（一）必考题（11—14题）
11．已知向量
，
，则
．
12．函数
的零点个数为 ．
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到
处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上，行驶600m后到达
处，测得此山顶在西偏北
的方向上，仰角为
，则此山的高度
m.
14．如图，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴交于两点
（B在A的上方），
且
．
（Ⅰ）圆
的标准方程为 ；
（Ⅱ）过点
任作一条直线与圆
相交于
两点，下列三个结论：
①
； ②
； ③
．
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
（二）选考题
（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，
且
，则
.
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为
，曲线C的参数方程为
( t为参数) ，l与C相交于A
B两点，则
.
32015年湖北理科数学解答题
（本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分11分）
某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表：
 | 0 |  |  |  |  |
 |  |  | |||
 | 0 | 5 |  | 0 |
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解
析式；
（Ⅱ）将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图
象. 若
图象的一个对称中心为
，求
的最小值.
18．（本小题满分12分）
设等差数列
的公差为d，前n项和为
，等比数列
的公比为q．已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；
（Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前n项和
．
19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马
中，侧棱
底面
，
且
，过棱
的中点
，作
交
于
点
，连接
（Ⅰ）证明：
．试判断四面体
是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面
与面
所成二面角的大小为
，
求
的值．
20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
两种奶制品．生产1吨
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨
产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
| W | 12 | 15 | 18 |
| P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利
（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求
的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（本小题满分14分）
一种作图工具如图1所示．
是滑槽
的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
，
．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕
转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线
与两定直线
和
分别交于
两点．若直线
总与曲线
有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知数列
的各项均为正数，
，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数
的单调区间，并比较
与e的大小；
（Ⅱ）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令
，数列，
的前
项和分别记为
,
, 证明：
.