12015年湖北理科数学选择题:
(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.为虚数单位,
的共轭复数为
A. B.
C.1 D.
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534
石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
3.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
A. B.
C.
D.
4.设,
,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是
A.
B.
C.对任意正数,
D.对任意正数
,
5.设,
. 若p:
成等比数列;
q:,则
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
6.已知符号函数
是
上的增函数,
,则
A. B.
C. D.
7.在区间上随机取两个数
,记
为事件“
”的概率,
为事件“
”的概率,
为事件“
”的概率,则
A. B.
C. D.
8.将离心率为的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增加
个单位
长度,得到离心率为的双曲线
,则
A.对任意的,
B.当
时,
;当
时,
C.对任意的,
D.当
时,
;当
时,
9.已知集合,
,定义集合
,则
中元素的个数为
A.77 B.49 C.45 D.30
10.设,
表示不超过
的最大整数. 若存在实数
,使得
,
,…,
同时成立,则正整数的最大值是
A.3 B.4 C.5 D.6
22015年湖北理科数学填空题
(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.)
(一)必考题(11—14题)
11.已知向量,
,则
.
12.函数的零点个数为 .
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到
处时测得公路北侧一山顶D在西偏北
的方向上,行驶600m后到达
处,测得此山顶在西偏北
的方向上,仰角为
,则此山的高度
m.
14.如图,圆与
轴相切于点
,与
轴正半轴交于两点
(B在A的上方),
且.
(Ⅰ)圆的标准方程为 ;
(Ⅱ)过点任作一条直线与圆
相交于
两点,下列三个结论:
①; ②
; ③
.
其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)
(二)选考题
(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,
且,则
.
16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为
( t为参数) ,l与C相交于A
B两点,则
.
32015年湖北理科数学解答题
(本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分11分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象
时,列表并填入了部分数据,如下表:
![]() | 0 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | 0 | 5 | ![]() | 0 |
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解
析式;
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动
个单位长度,得到
的图
象. 若图象的一个对称中心为
,求
的最小值.
18.(本小题满分12分)
设等差数列的公差为d,前n项和为
,等比数列
的公比为q.已知
,
,
,
.
(Ⅰ)求数列,
的通项公式;
(Ⅱ)当时,记
,求数列
的前n项和
.
19.(本小题满分12分)
《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图,在阳马中,侧棱
底面
,
且,过棱
的中点
,作
交
于
点,连接
(Ⅰ)证明:.试判断四面体
是
否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面与面
所成二面角的大小为
,
求的值.
20.(本小题满分12分)
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨
产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨
产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天
产品的产量不超过
产品产量的2倍,设备每天生产
两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.
(Ⅰ)求的分布列和均值;
(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.
21.(本小题满分14分)
一种作图工具如图1所示.是滑槽
的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且
,
.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕
转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以
为原点,
所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线
和
分别交于
两点.若直线
总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若
存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知数列的各项均为正数,
,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较
与e的大小;
(Ⅱ)计算,
,
,由此推测计算
的公式,并给出证明;
(Ⅲ)令,数列
,
的前
项和分别记为
,
, 证明:
.