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[数学教案][高考试题]2015年湖北高考理科数学试题

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12015年湖北理科数学选择题:

(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.为虚数单位,的共轭复数为

A. B. C.1 D.

2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534

石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

3.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为

A. B. C. D.

4.设,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是

LKT4A.

B.

C.对任意正数

D.对任意正数

5.设. 若p:成等比数列;

q:,则

A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

6.已知符号函数 上的增函数,,则

A.   B.

C. D.

7.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则

A. B.

C. D.

8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位

长度,得到离心率为的双曲线,则

A.对任意的 B.当时,;当时,

C.对任意的 D.当时,;当时,

9.已知集合,定义集合

,则中元素的个数为

A.77 B.49 C.45 D.30

10.设表示不超过的最大整数. 若存在实数,使得,…,

同时成立,则正整数的最大值是

A.3 B.4 C.5 D.6

22015年湖北理科数学填空题

(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.)

(一)必考题(11—14题)

11.已知向量,则

12.函数的零点个数为 .

13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m.

14.如图,圆轴相切于点,与轴正半轴交于两点(B在A的上方),

(Ⅰ)圆的标准方程为 ;

(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论:

; ②; ③

其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)

(二)选考题

(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)

15.(选修4-1:几何证明选讲)

如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,

,则 .

16.(选修4-4:坐标系与参数方程)

在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为 ( t为参数) ,l与C相交于AB两点,则 .

32015年湖北理科数学解答题

(本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分11分)

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象

时,列表并填入了部分数据,如下表:

0
050

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解

析式;

(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图

象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值.

18.(本小题满分12分)

设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)当时,记,求数列的前n项和

19.(本小题满分12分)

《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

如图,在阳马中,侧棱底面

,过棱的中点,作

,连接

(Ⅰ)证明:.试判断四面体

否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写

出结论);若不是,说明理由;

(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为

的值.

20.(本小题满分12分)

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

W121518
P0.30.50.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.

(Ⅰ)求的分布列和均值;

(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

21.(本小题满分14分)

一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设动直线与两定直线分别交于两点.若直线

总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若

存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分14分)

已知数列的各项均为正数,,e为自然对数的底数.

(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与e的大小;

(Ⅱ)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;

(Ⅲ)令,数列的前项和分别记为,, 证明:.

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