范文网

12015年湖北理科数学答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B

二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）

11．9 12．2 13．

14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ 15． 16．

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

17．（11分）

（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：

且函数表达式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.

因为的对称中心为，.

令，解得， .

由于函数的图象关于点成中心对称，令，

解得，. 由可知，当时，取得最小值.

18．（12分）

（Ⅰ）由题意有， 即

解得 或 故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故.

19．（12分）

（解法1）

（Ⅰ）因为底面，所以，

由底面为长方形，有，而，

所以. 而，所以.

又因为，点是的中点，所以.

而，所以平面. 而，所以.

又，，所以平面.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.

（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面

的交线. 由（Ⅰ）知，，所以.

又因为底面，所以. 而，所以.

故是面与面所成二面角的平面角，

设，，有，

在Rt△PDB中, 由, 得,

则 , 解得.

所以

故当面与面所成二面角的大小为时，.

（解法2）

（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，

于是，即.

又已知，而，所以.

因, , 则, 所以.

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.

（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；

由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量.

若面与面所成二面角的大小为，

则，

解得. 所以

故当面与面所成二面角的大小为时，.

20．（12分）

（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有

（1）

目标函数为 ．

当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

当时，（1）表示的平面区域如图3，

四个顶点分别为.

将变形为，

当时，直线：在轴上的截距最大，

最大获利．

故最大获利的分布列为

因此，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为

21．（14分）

（Ⅰ）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，

由 消去，可得.

因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，

所以，即. ①

又由 可得；同理可得.

由原点到直线的距离为和，可得

. ②

将①代入②得，.

当时，；

当时，.

因，则，，所以，

当且仅当时取等号.

所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.

22．（14分）

（Ⅰ）的定义域为，.

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减.

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

当时，，即.

令，得，即. ①

（Ⅱ）；；

.

由此推测： ②

下面用数学归纳法证明②.

（1）当时，左边右边，②成立.

（2）假设当时，②成立，即.

当时，，由归纳假设可得

.

所以当时，②也成立.

根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.

（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得

.

即.

22015年湖北理科数学试题